Sandor Ortegón
Profesor de cátedra del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes
sj.ortegon@uniandes.edu.co
En esta ocasión hay una variedad de ejercicios que podrían llamarse “tipo clase”. Es decir, problemas que pudieron ser asignados por profesores de matemáticas en ciertos cursos de la Universidad. No obstante, son problemas “exóticos” en su origen y que van a constituir verdaderos rompecabezas para las personas que se interesen en ellos.
El primero de estos problemas es de aritmética básica de fuente desconocida (es decir, la adaptación es invención nuestra, pero seguramente la idea original surgió muchísimo antes), pero requerirá de mucho ingenio para ser resuelto si se piensa “a mano”. El segundo problema es una adaptación de una historieta del matemático francés Claude Berge (1926-2002), un conocido pionero de la combinatoria y la teoría de grafos, quien además tenía especial afición por los acertijos y juegos de palabras. Un problema de su autoría apareció en el cuarto número de esta revista. El tercer problema es invento del autor de esta columna y se busca una solución sin usar herramientas computacionales.
Problema 1
Es dada la siguiente sucesión de números (escritos con espacios entre ellos): 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A partir de esta lista, se siguen las siguientes reglas:
- Se debe mantener el orden en que están escritos los números.
- No se pueden concatenar dos de los números escritos (es decir, no se pueden formar números como 109, 76 o 7654 borrando los espacios)
- Entre los números se puede insertar cualquier cantidad de paréntesis y signos de las cuatro operaciones aritméticas básicas: + − × ÷
¿Es posible obtener el número 2015 siguiendo las reglas anteriores?
¿Es posible obtener cada año de esta década usando las reglas?
¿Existe algún número natural que no se pueda formar siguiendo estas reglas?
Problema 2
Diez años atrás, un millonario y su mayordomo fallecieron en un extraño accidente, producto de una explosión en la mansión donde vivían. Las investigaciones de la policía concluyeron que el artefacto explosivo fue construido sobre medidas dentro de un armario de un cuarto de huéspedes, y eso sucedió durante el último año; por su sofisticación, el autor del crimen tuvo que haber estado en varias ocasiones en la
mansión para hacerlo.
Durante ese último año, hubo exactamente siete visitantes en la mansión; estas fueron precisamente las exesposas del millonario: Ana, Beatriz, Carolina, Estefanía, Fernanda, Gabriela y Helena. Si bien ellas no recordaron exactamente cuánto duró su visita, pudieron establecer a quiénes más se encontraron en la mansión durante su estadía.
Ana se encontró con Beatriz, Carolina, Fernanda y Gabriela.
Beatriz se encontró con Ana, Carolina, Estefanía, Fernanda y Helena.
Carolina se encontró con Ana, Beatriz y Estefanía.
Estefanía se encontró con Beatriz, Carolina y Fernanda.
Fernanda se encontró con Ana, Beatriz, Estefanía y Helena.
Gabriela se encontró con Ana y Helena.
Helena se encontró con Beatriz, Fernanda y Gabriela.
Los investigadores en su momento no vieron nada contradictorio en las afirmaciones de las mujeres (que fueron confirmadas por las demás exesposas). La policía creía que la sospecha debía recaer sobre una de ellas, pues al parecer una quedaba poco favorecida en el testamento del millonario, pero ese documento quedó destruido en la explosión y no hubo forma de indagar más sobre esa hipótesis. Todas juraron que solo estuvieron en una ocasión en la mansión y por tanto no tendrían forma de haber fabricado dicho artefacto explosivo.
No obstante, el año pasado, un detective-matemático basado en los testimonios anteriores, descubrió que una de las mujeres mintió respecto a cuántas veces estuvo en la mansión, y ella sería la autora del crimen. Ahora, ¿puede usted decirnos quién fue la autora del crimen? ¿Cuántas veces (al menos) estuvo ella en la mansión?
