Sandor Ortegón
Profesor de cátedra del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes
sj.ortegon@uniandes.edu.co
En esta ocasión proponemos una variedad de problemas que tienen en común lo siguiente: se pueden resolver de manera elemental sin necesidad de grandes herramientas matemáticas, de modo que los puede resolver cualquier lector de esta revista. No obstante, cada uno de ellos surgió de la curiosidad de personas que trabajaban en cuestiones matemáticas muy profundas de teoría de números, combinatoria, teoría de grupos y topología.
El primero de estos problemas hace parte de lo que algunos conocen como “matemáticas mágicas”, es decir, teoría para desarrollar trucos de “magia” basados en codificación y otros recursos matemáticos. El problema 2 tiene relación con la teoría de diseños combinatorios, concretamente, el estudio de estructuras de incidencia, con una combinación de álgebra y geometría. El problema 3 está basado en la teoría matemática de grafos usada para resolver el problema 2 de la edición anterior de la revista, solucionado en este número, de manera que puede ser una oportunidad para ver si se comprendió la solución que se presenta más adelante. Y el problema 4 se deriva de un resultado profundo que se aplica en superficies más generales que un tetraedro y a partir del cual el autor pretendía demostrar nuevos resultados en teoría de grupos.
Problema 1
Un mago, que cuenta con un asistente que es su “cómplice”, tiene una baraja completa de cartas —de baraja inglesa, es decir, de 52 cartas—.
El mago se retira por un momento, y, mientras tanto, el asistente muestra las cartas al público y pide a una persona de la audiencia que “revuelva” como quiera el mazo de cartas y que escoja cinco cartas de su preferencia.
El asistente toma las cartas, las mira y coloca en una mesa cuatro de ellas destapadas y la quinta tapada, una al lado de otra. Al regresar, el mago mira rápidamente la mesa y, abracadabra, indica cuál es la carta tapada, ¡para asombro del público!
¿Puede inventarse un truco de magia que funcione de esta manera? Suponga que el mago no se comunica con el asistente: solo mira lo que está en la mesa, tal como lo haya dispuesto el asistente, y desde luego, que la persona del público no es cómplice del mago.
Problema 2
Es posible trazar cinco segmentos de recta que se intersequen en diez puntos, exactamente, de manera que cada segmento contenga cuatro de los puntos. Por ejemplo, las cinco diagonales de un pentágono convexo cumplen la afirmación formando una estrella de cinco puntas que algunos llaman “pentágono esotérico”. Existen, desde luego, otras formas de hacer este dibujo.
¿Es posible hacer el dibujo, en una hoja cuadriculada, de manera que todos los puntos de intersección coincidan con esquinas de la cuadrícula?
En caso afirmativo, ¿cuál es el área mínima que puede tener la hoja cuadriculada?
Problema 3
Seis profesores en el Departamento de Matemáticas de una universidad fueron los únicos que visitaron la cafetería del primer piso, el día que se perdió el portátil del jefe. Cada uno de ellos entró en la cafetería solamente una vez, permaneció por algún tiempo y después salió. Cada vez que hubo dos de ellos al mismo tiempo en el cuarto, al menos uno de ellos notó que el otro estaba allí (los profesores de matemáticas a veces son tan despistados que no se notan entre sí).
Cuando la secretaria del Departamento interrogó a los seis profesores —que por simplicidad llamaremos A, B, C, D, E, F— acerca de su visita a la cafetería aquel día, recibió la siguiente información:
- El profesor A afirmó haber visto a B y E
- El profesor B afirmó haber visto a A y F
- El profesor C afirmó haber visto a D y F
- El profesor D afirmó haber visto a A y F
- El profesor E afirmó haber visto a B y C
- El profesor F afirmó haber visto a C y E
Si se sabe que exactamente uno de los profesores mintió para inculpar a otro (por “mentir” entendemos dar información falsa, no ocultar información cierta), ¿quién es el culpable de dicho acto?
